operasi bilangan bulat

Operasi hitung campuran pada bilangan bulat sering muncul pada soal-soal ujian nasional (UN). Jadi Anda sangat penting mengetahui cara mengerjakan operasi hitung campuran pada bilangan bulat. Contoh hitung campuran bilangan bulat yang muncul pada UN yakni UN Matematika tahun 2009 dengan soal seperti berikut: Hasil dari (–4 + 6) × (–2 – 3) adalah . . .

a. –10

b. – 2

c. 10

d. 50

Bagaimana cara mengerjakan soal di atas? Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat seperti soal UN 2009 di atas, Anda harus memperhatikan dua hal, yakni tanda operasi hitung dan tanda kurung.

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu. Tetapi, bila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
Operasi perkalian (× ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
Operasi perkalian ( × ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian (×) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Jadi berdasarkan pembahasan di atas berapa hasil dari soal UN 2009 di atas? Jawabanya adalah –10 (a)

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara mengerjakan operasi hitung campuran pada bilangan bulat, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1.

Tentukan hasil dari (16 : 2) + (–5 × 2) –(–3)!

(UN 2010)

Penyelesaian:

Ingat kerjakan yang ada dalam kurung terlebih dahulu, maka:

(16 : 2) + (–5 × 2) –(–3)

= 8 + (–10) –(–3)

= 8 –10 + 3

= 1

Jadi, (16 : 2) + (–5 × 2) –(–3) = 1

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari:

a. 45 + 56 × 48 – 216 : 9

b. (–9) – 6 × (–72) : 16 – 20

c. 168 : ((17 – 24) × (–19 + 15))

d. 360 : (15 + ((27 – 32) × (–9 + 16)))

e. 420 : (–7) + 70 – 30 × (–8) + 15

f. 13 × (140 : (–7)) + (–2) × 19

Penyelesaian:

a. Ingat kerjakan yang ada perkalian dan pembagian terlebih dahulu

45 + 56 × 48 – 216 : 9

= 45 + (56 × 48) – (216 : 9)

= 45 + 2688 – 24

= 2709

b. Sama seperti soal 1a, kerjakan yang ada perkalian dan pembagian terlebih dahulu, karena perkalian dan pembagian sama-sama kuat maka kerjakan dari kiri yakni perkalian dulu baru kemudian pembagian:

(–9) – 6 × (–72) : 16 – 20

= (–9) – (6 × (–72)) : 16 – 20

= (–9) – (–432) : 16 – 20

= (–9) – (–432 : 16) – 20

= (–9) – (–27) – 20

= (–9) + 27 – 20

= – 2

c. Ingat kerjakan yang ada dalam kurung terlebih dahulu dan mulai dari kiri:

168 : ((17 – 24) × (–19 + 15))

= 168 : ((– 7) × (–4))

= 168 : 28

= 6

d. Sama seperti soal 1c, kerjakan yang ada dalam kurung terlebih dahulu, maka:

360 : (15 + ((27 – 32) × (–9 + 16)))

= 360 : (15 + (– 5 × 7))

= 360 : (15 + (– 35))

= 360 : (– 20)

= –18

e. Ingat kerjakan yang ada perkalian dan pembagian terlebih dahulu, karena perkalian dan pembagian sama-sama kuat maka kerjakan yang ada di kiri terlebih dahulu:

420 : (–7) + 70 – 30 × (–8) + 15

= (420 : (–7)) + 70 – (30 × (–8)) + 15

= –60 + 70 – (–240) + 15

= –60 + 70 + 240 + 15

= 265

Ingat** bahwa –(–240) = 240 atau –(–240) = + 240

f. Sama seperti soal 1d, kerjakan yang ada dalam kurung terlebih dahulu, maka:

13 × (140 : (–7)) + (–2) × 19

= 13 × (–20) + (–2) × 19

= (13 × (–20)) + ((–2) × 19)

= (–260) + (–38)

= –298

operasi bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang terdiri atas pembilang dan penyebut. Pembilang ini merupakan bilangan yang terdapat di atas penyebut atau merupakan bilangan yang akan di bagi oleh penyebut. Penyebut adalah bilangan yang terdapat di bawah pembilang atau merupakan bilangan yang akan membagi penyebut. Untuk lebih jelasnya bisa dibaca dibawah ini
• Pembilang = bilangan yang di bagi
• Penyebut = bilangan yang membagi
Perhatikan :
2
—
3
Keterangan:
2 merupakan pembilang
3 merupakan penyebut
Jika pada pecahan campuran, terdiri atas bilangan bulat dan pecahan biasa. Perhatikan bentuk pecahan campuran berikut ini :

Keterangan :
3 merupakan bilangan biasa
1/2 merupakan pecahan biasa
Menghitung Bilangan Pecahan Campuran
Untuk bisa menghitung bilangan pecahan campuran maka harus mencari ubahan pecahan campuran ke pecahan biasa. Setelah itu baru melakukan
operasi hitung sesuai dengan perhitungan pecahan biasa, kemudian ubah pecahan biasa ke pecahan campuran untuk di sederhanakan.
1. Cara Menambahkan Bilangan Pecahan Campuran
Menambahkan bilangan pecahan campuran adalah proses perhitungan dengan operator tambah. Untuk itu terlebih dahulu anda harus mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa lalu baru lakukan proses penambahan seperti penambahan bilangan pecahan biasa. Jika masih bingung silahkan dilihat contoh soal dibawah ini.

Pertama, ubah masing-masing pecahan campuran tersebut ke pecahan biasa secara terpisah:

Setelah masing-masing pecahan campuran di ubah ke dalam pecahan biasa, lakukan proses penambahan sesuai dengan penambahan pecahan biasa.

Jadi, hasil yang di dapatkan :

Jika penyebutnya sama, maka langsung saja di tambahkan pembilangnya. Jika tidak, maka samakan dulu penyebutnya kemudian tambahkan pembilangnya jika sudah sama.
2. Cara Mengurangkan Bilangan Pecahan Campuran
Untuk cara mengurangkan bilangan pecahan ini terlebih dahulu ubah pecahan campuran ke pecahan biasa lalu dikurangi pecahan sesuai dengan cara sebelumnya. Lihat contoh dibawah ini :

Ubah masing-masing pecahan campuran tersebut ke dalam pecahan biasa secara terpisah,

Setelah itu, lakukan proses pengurangan (jika penyebutnya sama maka pembilang langsung di kurangkan, jika tidak samakan terlebih dahulu penyebutnya),

Jadi, hasil yang di dapatkan :

3. Cara Mengalikan Bilangan Pecahan Campuran
Caranya ubah terlebih dahulu pecahan campuran ke dalam pecahan biasa. Lalu lakukan proses perkalian sesuai dengan cara mengalikan pecahan biasa (pembilang di kalikan dengan pembilan dan penyebut dikalikan dengan penyebut). Lihat contoh dibawah ini :

Ubah terlebih dahulu pecahan campuran tersebut ke dalam pecahan biasa secara terpisah,

Kemudian, kalikan pecahan yang telah di ubah tadi dan kemudian sederhanakan jika di butuhkan.

Jadi, hasil yang didapatkan :

4. Cara Membagi Bilangan Pecahan Campuran
Caranya harus mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa, lalu operasi pembagian ke pecahan yang sudah diubah dengan membalikkan pecahan sebagai pembagi (pembilang menjadi penyebut dan penyebut menjadi pembilang). Setelah itu baru pengalian seperti hal yang telah dilakukan di atas.Lihat contoh soal dibawah ini

Pertama, ubah pecahan campuran ke pecahan biasa secara terpisah.

Kemudian lakukan pembagian dengan membalikkan pembaginya (pembilang jadi penyebut dan penyebut menjadi pembilang). Setelah itu lakukan pengalian seperti pengalian sebelumnya.

Jadi, didapatkan hasil.

Kesimpulan :
1. Bilangan pecahan didefinisikan sebagai bilangan a/b. Dimana a merupakan bilangan bulat dan b merupakan bilangan buat (b tidak boleh sama dengan 0).
2. Bilangan pecahan campuran terdiri atas bilangan bulat dan pecahan biasa.
3. Cara menghitung bilangan pecahan campuran yaitu dengan 4 metode diantaranya penambahan, pengurangan, pengalian, dan pembagian.
4. Perhitungan pecahan campuran hampir sama dengan perhitungan pecahan biasa, tetapi pada pecahan campuran terlebih dahulu diubah menjadi pecahan biasa.

perbandingan

RUMUS PERBANDINGAN DAN CONTOH SOAL
Dibawah ini kita akam membahas rumus perbandingan yang akan disertai dengan contoh soal perbandingan,
Jarak sebenarnya = Jarak pada peta x Skala
Contoh :
1. Diketahui jarak pada peta 2 cm. Berapa jarak sebenarnya bila skala tersebut 1 : 500
Jawab :
Jarak sebenarnya : jarak pada peta x skala
Jarak sebenarnya : 2 cm x 500
: 1000 cm

2.    Berapakah Perbandingan dari 35 : 25 : 5
Jawab : 35     : 25     : 5    Di bagi angka yg
               7        :   5    : 1    terkecil
3.    Berapakah hasil perbandingan 4 : 2 : 1 dari 98 buah kelereng.
Jawab :   x 98 = 4 x 14 = 56
    x 98 = 2 x 14 = 28
    x 98 = 1 x 14 = 14
4. berapa hasil perbandingan 3 : 6 dari 81
jawab :   x 81 = 3 x 9 = 27
              x 81 = 7 x 9 = 63
5. berapa umur budi dan ani jika perbandingan
    3 : 7 dan selisih umur mereka 12
jawab :   x 12 = 3 x 3 = 9
               x 12 = 7 x 3 = 21

operasi bilangan berpangkat

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Langung saja :

3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.
Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m – n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 5^{5 – 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 3^{4 x 2}
Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n= ¹/₂^_n , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
(¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.
Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya
√2 = 1,414213562 …. Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25×3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.
contoh :

jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku
a√b + c√b = (a + c)√b
a√b – c√b = (a – c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)” = a^’. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
Jika tidak ada tanda kurungnya maka

pangkat dan akar sama kuat;
kali dan bagi sama kuat;
tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

bilangan bentuk akar

Berikut adalah penjelasan mengenai beberapa jenis operasi bentuk akar beserta rumus, contoh dan pembahasannya seperti : penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, perkalian bentuk akar, pembagian bentuk akar, merasionalkan penyebut dan persamaan pangkat sederhana.

incoming search term:
rumus hitung, bentuk akar, persamaan akar, operasi akar, soal bentuk akar

pola barisan bilangan

ola bilangan sendiri memiliki arti suatu susunan bilangan yang memiliki bentuk teratur atau suatu bilangan yang tersusun dari beberapa bilangan lain yang membentuk suatu pola . Dan pola bilanga juga memiliki banyak jenisnya atau macamnya . Pada kesempatan kali ini , kita akan mempelajarinya bersama .

Macam – macam Pola Bilangan

Macam – macam pola bilngan meliputi beberapa jenis berikut ini :

Pola Bilangan Ganjil

Poal bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .

advertisements

pola bilangan ganjil adalah : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .
Gambar Pola bilangan ganjil :

Rumus Pola Bilangan ganjil

1 , 3 , 5 , 7 , . . . , n , maka rumus pola bilangan ganjil ke n adalah :

Un = 2n – 1

Contoh :

1 , 3 , 5 , 7 , . . . , ke 10

Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ?

Jawab :

Un = 2n – 1

U10 = 2 . 10 – 1

= 20 – 1 = 19

2. Pola Bilangan Genap

pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya .

Pola bilangan genap adalah : 2 , 4 , 6 , 8 , . . .
Gambar pola bilangan genap :

Rumus Pola bilangan genap

2 , 4 , 6 , 8 , . . . . , n maka rumus pola bilangan genap ke n adalah :

Un = 2n

Contoh :

2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ?

jawab :

Un = 2n

U10 = 2 x 10

= 20

3. Pola bilangan Persegi

Pola bilangan persegi , yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi .

Pola bilangan persegi adalah 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , . . .
Gambar Pola bilangan persegi :

Rumus Pola bilangan persegi

1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . , n maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke n adalah :

Un = n²

Contoh :

Dari suatu barisan bilangan 1 , 2 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . ,ke 10 . Berapakah pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?

Jawab :

Un = n²

U10 = 10²= 100

4. Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang .

Pola persegi panjang adalah 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . .
Gambar Pola Bilangan persegi panjang :

Rumus pola bilangan persegi panjang

2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . n , maka Rumus Pola bilangan Persegi panjang ke n adalah :

Un = n . n + 1

Contoh :

Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ?

Jawab :

Un = n . n+ 1

U10 = 10 . 10 + 1

= 10 . 11

= 110

5. Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga .

Pola bilangan segitiga adalah : 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , . . .
Gambar Pola bilangan segitiga :

Rumus Pola Bilangan Segitiga :

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke n . Maka rumus pola bilangan segitiga ke n adalah :

Un = 1 / 2 n ( n + 1 )

Contoh Soal :

Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?

Jawab :

Un = 1/2 n ( n + 1 )

U 10 = 1/2 .10 ( 10 + 1 )

= 5 ( 11 ) = 55

6. Pola Bilangan FIBONACCI

Pola bilangan fibonacci yaitu suatu bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah dari dua suku di depanya .

Pola bilangan fibonacci :

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 56 , . . .

2 , 2 , 4 , 6 , 10 , 16 , 26 , 42 , . . ..

Demikian penjelasan mengenai pola bilangan dalam ilmu matematika

barisan dan deret

Perbedaan Barisan dan Deret (Aritmatika dan Geometri)
Barisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh barisan :

1, 2, 3, 4, 5
2, 5, 8, 11, 14

Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.
Contoh deret :

1 + 2 + 3 + 4
2 + 5 + 8 + 11

Format Barisan

Format Deret

Rumus Deret Aritmatika

Contoh Soal :
Soal 1 dan Pembahasan
Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah…

16
17
18 D. 19
20

Pembahasan
Pada dasarnya, untuk mengerjakan soal seperti ini yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai suku pertama (a) dan beda barisan (b). Akan tetapi, pada sebagian soal kita tidak dapat menentukan nilai a dan b sehingga yang harus kita lakukan adalah melihat hubungan antara persamaan yang ditanya dengan persamaan yang diketahui. Dari soal diperoleh persamaan :
U2 + U5 + U20 = 54
⇒ (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54
⇒ 3a + 24b = 54
⇒ a + 8b = 18
Rumus untuk menghitung suku ke-9 adalah sebagai berikut :
U9 = a + 8b
⇒ U9 = a + 8b = 18 (opsi C)

Soal 2 dan Pembahasan
Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan …

13
16
20 D. 24
28

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
U3 + U7 = 56
⇒ (a + 2b) + (a + 6b) = 56
⇒ 2a + 8b = 56
⇒ a + 4b = 28.
U6 + U10 = 86
⇒ (a + 5b) + (a + 9b) = 86
⇒ 2a + 14b = 86
⇒ a + 7b = 43.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 4b = 28 → a = 28 – 4b → substitusi ke persamaan (2).
⇒ a + 7b = 43
⇒ 28 – 4b + 7b = 43
⇒ 28 + 3b = 43
⇒ 3b = 15
⇒ b = 5
Karena b = 5, maka a = 28 – 4(5) = 28 – 20 = 8.
Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut adalah :
U2 = a + b
⇒ U2 = 8 + 5
⇒ U2 = 13 (Opsi A)
Soal 3 dan Pembahasan
Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah …

30
28
22 D. 18
14

Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U2 + U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6.
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 2b = 6 → a = 6 – 2b → substitusi ke persamaan (2).
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2)
⇒ U7 = 14 (Opsi E)
Soal 4 dan Pembahasan
Diketahui barisan aritmatika dengan U1 + U10 + U19 = 96. Suku ke-10 barisan tersebut sama dengan …

22
27
32 D. 37
42

Pembahasan
Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
U1 + U10 + U19 = 96
⇒ a + a + 9b + a + 18b = 96
⇒ 3a + 27b = 96
⇒ a + 9b = 32
Suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah :
U10 = a + 9b
⇒ U10 = a + 9b = 32 (Opsi C)
Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah …

10
19
28,5 D. 55
82,5

Pembahasan
Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :
U2 + U15 + U40 = 165
⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165
⇒ 3a + 54b = 165
⇒ a + 18b = 55
Suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah :
U19 = a + 18b
⇒ U19 = 55 (opsi D).
Deret Geometri
Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: a_n = a₁rⁿ^{– 1}, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,

Soal No. 1 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
U_n = ar^{n −1}
dimana
a = suku pertama
r = rasio
Dari soal
a = 3
r =⁶/₃ = 2
sehingga
U_n = arⁿ⁻¹
U₅ = 3 (2)^{5 −1} = 3 (2)⁴= 3(16) = 48
Soal No. 2 dan Pembahasan
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!
Pembahasan
Data dari soal di atas
U₅ = 324
a = 4
Dari U_n = ar^{n −1}

Soal No. 3 dan Pembahasan
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….
Tentukan U₃ + U₅
Pembahasan
U₃ = 3
a = 12
r = ⁶/₁₂ = ¹/₂
Un = ar^{n −1}
U₅ = 12(1/2)^{5 −1} = 12(1/2)⁴ = 12(1/16) = 12/16 = 3/4
Sehingga
U₃ + U₅ = 3 + ³/₄ = 3 ³/₄
Soal No. 4
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 3
r = ⁶/₃ = 2
S₇ =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1

Soal No. 5 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +…
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 24
r = ¹²/₂₄ = ¹/₂
S₇ =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

bentuk aljabar

A. BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSURNYA

Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut:

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel

1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.

adversitemens

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x maka

Titik potong dengan sumbu y maka

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :

dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.

Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :

1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.

a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b. x²+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c. p²+ q²= 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

2.  Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6   | x 1 | –> 2x –    y = 6              –   ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y =   8
2x – y = 6   | x 2 | –> 4x – 2y = 12              +     ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}

3. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi

Jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

4. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model       matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000     | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500   | x 2 | = 10x +   8 y = 23.000    –    ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x   = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by<c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :

contoh 1.

contoh 2.

contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat

Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :

Semoga artikel ini dapat bermanfaat, selain materi persamaan dan pertidaksamaan linear ini sebelumnya telah saya berikan materi pertidaksamaan kuadrat. Selamat Belajar dan Semoga Sukses.

himpunan

Contoh Soal 1:

Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang menyukai rumput gajah dan rumput teki?

Pembahasan:

untuk mencarinya, kita gunakan rumus himpunan berikut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (30 + 28) - (42 - 4)

n{AΛB} = 58 - 38

n{AΛB} = 20

Jadi, jumlah kambing yang menyukai kedua jenis rumput tersebut adalah 20 ekor.

Contoh Soal 2:

Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah diagram venn-nya.

Pembahasan:

Kita cari terlebih dahulu jumlah siswa yang menyukai kedua pelajaran tersebut:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (27 + 26) – (45 – 5)

n{AΛB} = 13

Maka dapat disimpulkan bahwa:

Siswa yang menyukai matematika saja = 27 - 13 = 14 siswa

Siswa yang menyukai bahasa inggris saja = 26 - 13 = 13 siswa

Maka gambar diagram venn-nya adalah:

Contoh Soal Himpunan Matematika dan Pembahasannya Kelas 7 SMP

Contoh Soal 3:

Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75 siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?

Pembahasan:

Siswa yang memilih masuk SMA dan SMK adalah:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

n{AΛB} = (75 + 63) – (150 – 32)

n{AΛB} = 138 – 118

n{AΛB} = 20 siswa

Siswa yang memilih masuk SMA saja = 75 – 20 = 55 orang

Siswa yang mmeilih masuk SMK saja = 63 – 20 = 43 orang

Contoh Soal 4:

Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25 bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang tidak menyukai pisang dan bubur?

Pembahasan:

n{AΛB} = (n{A} + n{B}) - (n{S} - n{X})

9 = (18 + 25) - (40 - n{X})

9 = 43 - 40 + n{X}

9 = 3 + n{X}

9 - 3 = n{X}

n{X} = 6

Contoh Soal 5:

Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.

Pembahasan:

Jumlah keseluruhan dari atlet tersebt adalah:

Atlet ang menyukai sepakbola saja : 17-12 = 5 orang

Atlet yang menyukai renang saja = 13 – 12 = 1 orang

Diagram venn-nya adalah:

Jadi, jumlah keseluruhan atlet tersebut adalah 18 orang

Demikian adalah beberapa Contoh Soal Himpunan Matematika dan Pembahasannya khusus untuk kalian yang masih duduk di Kelas 7 SMP. Smoga dapat membantu kalian untuk lebih memahami tentang materi himpunan yang diajarkan oleh guru kalian. Semangat Belajar!!

Pengertian Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi “suka dengan warna” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

a. Diagram panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan

R = {(Eko, Merah), (Rina, Hitam), (Tono, Merah), (Dika, Biru)}

Fungsi

Pengertian Fungsi Matematika

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, maka:

himpunan A disebut domai (daerah asal).
himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Aturan yang memasangkan anggota-anggota hhimpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.

Misal diketahui fungsi-fungsi:

f: A → B ditentukan dengan notasi f(x).

g: C → D ditentukan dengan notasi g(x).

Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

Diketahui A + {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) + 2x-1.

a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.

b. Tentukan range fungsi f.

c. Gambarlah grafik fungsi f.

Penyelesaian

Diagram panah fungsi f

b. Dari diagram diatas, terlihat bahwa:

f(x) = 2x-2

f(1) = 2.2-1 = 1

f(2) = 2.2-1 =3

f(3) = 2.3-1 = 5

f(4) = 2.4-1 = 7

persamaan garis lurus

Rumus Persamaan Garis Lurus

Sebelum kita mempelajari tentang rumus – rumus persamaan garis lurus , kita harus memahami terlebih dahulu pengertian dari persamaan garis lurus itu sendiri .Dan dalam sebuah persamaan garis lurus . ada satu komponen yang tidak dapat terlepas darinya yaitu Gradien . Apakah yang dimaksud dengan gradien? Perhaikan penjelasan di bawah ini :

A.Pengertian Persamaan Garis Lurus Dan Gradien

Persamaan Garis lurus , yaitu suatu perbandingan antara koordinat y dan koordinat x dari dua titik yang terletak pada sebuah garis .

advertisements

Gradien , yaitu Perbandingan komponen y dan komponen x , atau disebut juga dengan kecondongan sebuah garis. Lambang dari suatu gradien yaitu huruf “m” .

Gradien dari persamaan ax + by + c = 0

Gradien yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan titik ( a , b )

m = b/a

Gradien Yang melalui titik ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 )

m = y1 – y2 / x1 – x2 atau m = y2 – y1 / x2 – x1

Gradien garis yang saling sejajar ( / / )

m = sama atau jika dilambangkan adalah m1 = m2

Gradien garis yang saling tegak lurus ( lawan dan kebalikan )

m = -1 atau m1 x m2 = -1

B. Rumus Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus bentuk umum ( y = mx )

-> persamaan yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien m .

Contoh :

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2 !

Jawab : y = mx

y = 2 x

2. y = mx + c

->Persamaan garis yang / / dengan y = mx dan bergradien m .

-> Persamaan garis yang melalui titik ( 0 , c ) dan bergradien m . ( 0 , c ) adalah titik potong sumbu y .

3. Persamaan Garis Lurus Yang Melalui titik ( x1 , y1 ) dan bergradien m .

persamaannya yaitu :

y – y1 = m ( x – x1 )

4. Persamaan Garis Lurus Yang Melaui Dua titik yaitu ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 ) .

Contoh Soal

Tentukan Gradien garis yang melalui titik ( 0 , 0 ) dengan titik A ( -20 , 25 )
Tentukan Gradien garis yang melalui titik A ( -4 , 7 ) dan B ( 2 , -2 )
Tentuka Gradien garis dengan persamaan garis 4x + 5y – 6 = 0
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pusat koordinat dan bergradien – 4/5
Persamaan garis lurus yang melalui titik ( 0 , -2 ) dan m = 3/4 adalah . . .
Tentukan persamaan garis G yang melalui garis ( 0 , 4 ) dan sejajar dengan garis H yang melalui titik pusat koordinat dan titik ( 3 ,2 )
Tentukan persamaan garis Z yang melalui titik ( 4 , 5 ) dan ( -5 , 3 )

Penyelesaian

Diketahui : Titik ( 0 , 0 ) dan Titik A ( -4 , 7 )

Ditanya : m = . . .?

Jawab :

m = b / a

= 25 / -20

= – 5/4

2.Diketahui : Titik A ( -4 , 7 ) dan TitikB ( 2 , -2 )

Ditanya : m = . . ?

Jawab :

m= y1 – y2 / x1 – x2

m = 7 – ( -2) / -4 -2

m = 9 / -6

m = – 3/2

3. Diketahui : persamaan 4x + 5y – 6 = 0

Ditanya : m = . . .?

m = -a / b

= -4 / 5

4.Diketahui :

titik pusat koordinat ( 0 , 0 )

m = -4/5

Ditanya : persamaan garis lurus = . . .?

Jawab :

y = mx

y = -4 / 5 x

-4y = 5x

-4y -5y = 0

<-> 4y + 5y = 0

5. Diketahui :

titik garis ( 0 , -2 )

m = 3 / 4

Ditanya :

Persamaan garis = . . .?

Jawab :

cara 1

y = mx + c

y = 3/4 x + ( -2 ) x4

< => 4y = 3x – 8

< = > -3x + 4y + 8 = 0

cara 2

y – y1 = m ( x – x1 )

y – ( -2 ) = 3/4 ( x – 0 )

y + 2 = 3/4 x x4

< = > 4y + 8 = 3x

< = > -3y + 4y + 8

6. Diketahui :

Titik koordinat ( 0 , 0 ) dan titik ( 3 , 2 )

Ditanya : Persamaan garis G = . . .?

Jawab :

Langkah pertama kita tentuka gradiennya terlebih dahulu , yaitu :

m = y2 – y1 / x2 – x1

= 2 – 0 / 3 – 0

= 2/ 3

Karena Garis G // H , maka gradiennya adalah 2/3 DAN Melalui titik ( 0 , 4 ) , maka persamaan garisnya adalah :

y = mx + c

y = 2 / 3 x + 4 x3

< = >3y = 2x + 12

< = > 3y – 2x – 12 = 0

< = > 2x – 3y + 12 = 0

7. Diketahui : titik A ( 4 , 5 )

titik B ( -5 , 3 )

Ditanya : Persamaan garis Z = . . .?

Jawab :

Cara 1

Langkah pertama yaitu mencari gradien terlebih dahulu :

m = y1 – y2 / x1 – x2

= 5 – 3 / 4 – ( -5 )

= 2 / 9

Selanjutnya yaitu memasukkan ke dalam rumus :

Persamaan garis melalui titik ( 4 , 5 ) dan bergradien 2 / 9

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 5 = 2/9 ( x – 4 )

y – 5 = 2/9x – 8/ 9

y = 2/9 x – 8 / 9 + 5

y = 2/9 x – 8/9 + 45 /9

y = 2/9x – 37 / 9

Cara 2

Tanpa mencari gradien, yaitu dengan cara

y – 5 / 3 – 5 = x – 4 / -5 – 4

y – 5 / -2 = x – 4 / -9

-9 ( y – 5 ) = -2 ( x – 4 )

-9y + 45 = -2x + 8

-9y + 2x +45 – 8 = 0

2x – 9y + 37 : 9

< = > 2/9 x – y + 37 / 9

< = > y = 2/9x + 37 / 9

Demikian penjelasan mengenai rumus persamaan garis lurus dan beberapa contohnya . Semoga dengan penjelasan di atas , sedikit membantu memecahkan permasalahan dalam mengerjakan soal yang berhubungan dengan persamaan garis lurus . Inti dari persamaan garis lurus adalah memahami apa itu gradien dan memahami antara titik yang dilalui baik titik pusat koordinat , titik koordinat y ataupun titik koordinat x .Atau jika dilambangkan yaitu titik pusat koordint ( 0 , 0 ) , titik koordinat ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y 2 ) .

sistem persamaan linier dua variabel

Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19

Jawab :
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x = 8- y

Subtitusikan x = y – 8 ke dalam persamaan 2

2 (8- y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3

Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x – y = 7
x + 2y = 1

Jawab :

Eliminasi x
2x – y = 7 | x1 --> 2x – y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 --> 2x – 4y = 2 ... (4)

2x – y = 7
x + 2y = 1 -
    -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x – y = 7 | x2 --> 4x – 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 --> x + 2y = 1 ... (6)

4x – 2y = 14
x – 2y = 1 -
       5x =15
        x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1

Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x – 2y = 5

jawab :

Eliminasi x
x + y = -5
x – 2y = 5 -
      3y = -9
        y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3

Contoh Soal 4
Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !

Jawab :
Misalkan umur melly = x dan umur ayu = y, maka
y – x = 7… (1)
y + x = 43… (2)

y = 7 + x

subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur melly adalah 18 tahun dan umur ayu 25 tahun.

Contoh Soal 5
sebuah taman memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 44 m. tentukan luas taman !

Jawab :Luas taman = p x l
P = panjang taman
L = lebar taman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas taman tersebut adalah 105 m2

garis dan sudut

Pengertian Garis

garis merupakan susunan titik-titik (bisa tak hingga) yang saling bersebelahan dan berderet memanjang ke dua arah (kanan/kiri, atas/bawah)

Kedudukan dua buah Garis

Garis Sejajar

posisi dua garis akan dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut berada di satu bidang dan apabila kedua garis tersebut di perpenjang tidak akan bisa saling berpotongan.

Garis Berpotongan

dua buah garis dikatakan berpotongan apabila keduanya memiliki sebuah titik potong atau biasa disebut sebagai titik persekutuan.

Garis berhimpit

dua buah garis akan dikatakan berhimpit apabila kedua garis tersebut memiliki setidaknya dua titik potong. sebagai contoh jarum jam ketika menunjukkan pukul 12 pas. kedua jarum jam tersebut akan saling berhimpit.

Garis Bersilangan

dua buah garis dapat dikatakan bersilangan apabila keduanya tidak sejajar dan tidak berada pada satu bidang.

untuk memahami beragam kedudukan garis di atas perhatikan saja gambar berikut ini:

Materi Pengertian Garis dan Sudut Matematika Kelas 7 SMP

Pengertian Sudut

Di dalam ilmu matematika, sudut dapat diartikan sebagai sebuah daerah yang terbentuk karena adanya dua buah garis sinar yang titik pangkalnya saling bersekutu atau berhimpit.

Bagian-bagian pada suatu sudut

Sudut memiliki tiga bagian penting, yaitu:

Kaki Sudut

Garis sinar yang membentuk sudut tersebut.

Titik Sudut

Titik pangkal/ titik potong tempat berhimpitnya garis sinar.

Daerah Sudut

Daerah atau ruang yang ada diantara dua kaki sudut.

Untuk lebih jelasnya lihat gambar berikut:

Jenis-jenis Sudut

Ada beragam jenis sudut semuanya dibedakan berdasarkan besar dari daerah sudut yang terbentuk, diantaranya:

Sudut Siku-siku

Adalah sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut 90°

Sudut Lancip

Adalah sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut diantara 0° dan 90° (0°< D < 90°)

Sudut Tumpul

Adalah sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut diantara 90° dan 180° (90°< D < 180°)

Sudut Lurus

Adalah sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut 180°

Sudut Refleks

Adalah sebuah sudut yang memiliki besar daerah sudut diantara 180° dan 360° (180° < D < 360°)

Hubungan antar Sudut

Sudut Berpenyiku

Apabila ada dua buah sudut berhimpitan dan membentuk sudut siku-siku, maka sudut yang satu akan menjadi sudut penyiku bagi sudut yang lain sehingga kedua sudut tersebut dinyatakan sebagai sudut yang saling berpenyiku (komplemen).

∠ABD + ∠DBC = 90°

Sudut Berpelurus

Apabila ada dua buah sudut yang berhimpitan dan saling membentuk sudut lurus maka sudut yang satu akan menjadi sudut pelurus bagi sudut yang lain sehingga kedua sudut tersebit bisa dikatakan sebagai sudut yang saling berpelurus (suplemen).

∠PQS + ∠SQT + ∠TQR = 180°

Hubungan Antar Sudut apabila Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain

Simak dengan baik gambar di bawah ini:

Sudut Sehadap (sama besar)
adalah sudut yang memiliki posisi yang sama dan besarnyapun sama. pada gambar di atas, sudut yang sehadap adalah:

∠A = ∠E
∠B = ∠F
∠C = ∠G
∠D = ∠H

Sudut Dalam Berseberangan (sama besar)
adalah sudut yang ada di bagian dalam dan posisinya saling berseberangan, pada gambar di ats sudut dalam berseberangan adalah:

∠C = ∠E
∠D = ∠F

Sudut Luar Berseberangan (sama besar)
adalah sudut yang berada di bagian luar dan posisinya saling berseberangan, contohnya:

∠A = ∠G
∠B = ∠H

Sudut Dalam Sepihak
adalah sudut yang berada di bagian dalam dan berada pada sisi yang sama. bila dijumlahkan, sudut yang saling sepihak akan membentuk sudut 180°. contohnya:

∠D + ∠E = 180°
∠C + ∠F = 180°

Sudut Luar Sepihak
adalah sudut yang berada di bagian luar dan berada pada sisi yang sama. bila dijumlahkan, sudut yang saling sepihak akan membentuk sudut 180°. contohnya:

∠B + ∠G = 180°
∠A + ∠H = 180°

Sudut bertolak belakang (sama besar)
merupakan sudut yang posisinya saling bertolak belakang, pada gambar di atas, sudut yang bertolak belakang adalah:

∠A = ∠C
∠B = ∠D
∠E = ∠G
∠F = ∠H

Satuan Sudut

Di dalam ukuran derajat, nilai 1 derajat mewakili sebuah sudut yang diputar sejauh 1/360 putaran. artinya 1°=1/360 putaran.

untuk menyatakan ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat (°) kita bisa menggunakan menit (') dan detik (''). perhatikan hubungan derajat, menit, dan detik berikut ini:

1 derajat (1°) = 60 menit (60')

1 menit (1') = 1/60°

1 menit (1') = 60 detik (60”)

1 derajat (1°) = 3600 detik (3600'')

1 detik (1'') = 1/3600°

ukuran sudut dalam satuan radian

1° = p/180 radian

atau

1 radian = 180°/p

Apabila nilai p = 3,14159 maka:

1° = p/180 radian = 3,14159/180 = 0,017453

atau

1 radian = 180°/p = 180°/3,14159 = 57,296°

segiempat dan segitiga

Contoh 1: Soal UN MATEMATIKA SMP 2013
Sebidang kebun berbentuk persegipanjang berukuran 100 m $\times$ 80 m. Di sekeliling kebun akan ditanam pohon dengan jarak 10 m antar pohon. Banyak pohon yang diperlukan adalah ….
A. 36 pohon
B. 46 pohon
C. 72 pohon
D. 180 pohon

Pembahasan:
Mencari keliling persegi panjang:

$K = 2 \left( p + l \right)$

$K = 2 \left( 100 + 80 \right)$

$K = 2 \times 180$

$K = 360 \; m$

Mencari banyak pohon yang diperlukan:

$= \frac{360}{10}$

$= 36 \; \textrm{[pohom}$

Jawaban: A

Contoh 2: Soal UN MATEMATIKA SMP 2012
Pak Rahman mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran 30 m $\times$ 25 m. Tanah tersebut dipagar kawat sebanyak tiga kali lilitan. Panjang minimal kawat yang dibutuhkan adalah ….
A. 110 m
B. 330 m
C. 440 m
D. 750 m

Pembahasan:
Mencari keliling bidang tanah yang akan dipagari kawat:

$K = 2 \left( p + l \right)$

$K = 2 \left( 30 + 25 \right)$

$K = 2 \left( 55 \right)$

$K = 110 \; cm$

Panjang kawat untuk mengeliligi bidang tanah sebanyak tiga kali lilitan:

$= 3 \times 110$

$= 330 \; cm$

Jawaban: B

Contoh 3: Soal UN MATEMATIKA SMP 2011
Pak Ali mempunyai kebun dengan bentuk seperti pada gambar di bawah.
Segiempat dan segitiga

Kebun tersebut akan dijual dengan harga Rp200.000,00 per $\textrm{m}^{2}$ . Hasil penjualan kebun Pak Ali adalah ….
A. Rp28.800.000,00
B. Rp30.000.000,00
C. Rp36.000.000,00
D. Rp57.600.000,00

Pembahasan:
Gambar pada soal disusun oleh jajar genjang dan segitiga seperti terlihat pada gambar di bawah.

Mencari luas jajar genjang:

$L_{1} = a \times t$

$L_{1} = 12 \times 10$

$L_{1} = 120 \; \textrm{m}^{2}$

Mencari luas segitiga:

$L_{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10$

$L_{2} = \frac{1}{2} \times 60$

$L_{2} = 30$

Jadi, luas gabungan dua bangun tersebut adalah

$L = L_{1} + L_{2}$

$L = 120 + 30$

$L = 150 \; cm^{2}$

Hasil penjualan kebun Pak Ali:

$= 150 \times Rp200.000,00$

$= Rp30.000.000,00$

Jawaban: B

Contoh 4: Soal UN MATEMATIKA SMP 2010
Perhatikan gambar!
Soal aplikasi luas bangun

Daerah yang diarsir adalah sketsa tanah yang ditanami rumput. Luas hamparan rumput tersebut adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 2.400 \textrm{m}^{2}$

$\textrm{B.} \; \; \; 1.900 \textrm{m}^{2}$

$\textrm{C.} \; \; \; 1.400 \textrm{m}^{2}$

$\textrm{D.} \; \; \; 1.200 \textrm{m}^{2}$

Pembahasan:
Luas bangun yang diberikan pada soal dapat diperoleh dari luas trapesium siku-siku dikurangi luas persegi pangajng kecil, seperti terlihat pada gambar di bawah.
Luas Bangun Trapesium

Mencari luas trapesium siku-siku:

$L_{1} = \frac{\textrm{jumlah sisi sejajar} \times t}{2}$

$L_{1} = \frac{ \left( 45 + 75 \right) \times 40}{2}$

$L_{1} = \frac{ 120 \times 40}{2}$

$L_{1} = 2.400 \; cm^{2}$

Luas persegi panjang kecil adalah $L_{2}$ . Maka

$L_{2} = p \times l$

$L_{2} = 25 \times 20$

$L_{2} = 500 \; cm^{2}$

Luas hamparan rumput tersebut adalah

$= 2.400 - 500$

$= 1.900 \; cm^{2}$

Jawaban: B

Contoh 5: Soal UN MATEMATIKA SMP 2010
Perhatikan gambar!
Luas Gabungan Dua Bangun

Luas daerah bangun pada gambar di atas adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 133 cm^{2}$

$\textrm{B.} \; \; \; 138 cm^{2}$

$\textrm{C.} \; \; \; 162 cm^{2}$

$\textrm{D.} \; \; \; 181 cm^{2}$

Pembahasan:
Gambar yang diberikan pada soal dibangun oleh persegi panjang dikurang luas trapesium, seperti yang terlihat pada gambar di bawah.
Luas gabungan dua bangun

Mencari luas pesegi panjang

$L_{p} = P \times l$

$L_{p} = 19 \times 14$

$L_{p} = 266 \; cm^{2}$

Mencari luas trapesium:

$L_{t} = \frac{\textrm{jumlah sisi sejajar} \times t}{2}$

$L_{t} = \frac{ \left( 19 + 7 \right) \times 8}{2}$

$L_{t} = \frac{ 26 \times 8}{2}$

$L_{t} = 104 \; cm^{2}$

Luas daerah bangun pada gambar di atas:

$= 266 - 104$

$= 162 \; cm^{2}$

Jawaban: C

Contoh 6: Soal UN MATEMATIKA SMP 2006
Taman berbentuk trapesium sama kaki dengan panjang sisi-sisi sejajarnya (x + 4) m dan (3x + 2) m. Jika jarak kedua garis sejajar 2x m dan luas taman $180 \; m^{2}$ , keliling taman adalah ….
A. 54 m
B. 56 m
C. 65 m
D. 69 m

Pembahasan:
Diketahui:
Sisi sejejar pertama trapesium = x + 4
Sisi sejejar kedua trapesium = 3x + 2
Tinggi trapesium = 2x
Bentuknya dapat dilihat seperti gambar di bawah.

Luas trapesium adalah

$L = \frac{ \textrm{jumlah sisi sejajar} \times t}{2}$

$180 = \frac{ \left( x + 4 + 3x + 2 \right) \times 2x}{2}$

$2 \times 180 = \left( x + 4 + 3x + 2 \right) \times 2x$

$360 = \left( 4x + 6 \right) \times 2x$

$360 = 8x^{2} + 12x$

$8x^{2} + 12x - 360 = 0$

$2x^{2} + 3x - 90 = 0$

Untuk mendapatkan nilai x, maka kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat di atas.

$2x^{2} + 3x - 90 = 0$

$2x^{2} - 12x + 15x - 90 = 0$

$2x \left( x - 6\right) + 15 \left( x - 6 \right) = 0$

$\left( 2x + 15 \right) \left( x - 6 \right) = 0$

$2x + 15 = 0 \; \textrm{atau} \; x - 6 = 0$

Sehingga diperoleh,

$2x + 15 = 0 \rightarrow x = - \frac{15}{2}$

$x - 6 = 0 \rightarrow x = 6$

Pilih nilai x = 6 karena tidak ada panjang yang nilainya negatif. Sehingga diperoleh ukuran masing-masing sisi trapesium seperti berikut.

Sisi sejejar pertama trapesium:

$= x + 4$

$= 6 + 4$

$= 10 \; m$

Sisi sejejar kedua trapesium:

$= 3x + 2$

$= 3(6) + 2$

$= 18 + 2$

$= 20 \; m$

Tinggi trapesium:

$= 2x$

$= 2 \times 6$

$= 12 \; m$

Ukuran dalam gambar dapat dilihat seperti berikut.

Untuk menghitung keliling, kita perlu menghitung sisi miring dari trapesium tersebut terlebih dahulu. Panjang sisi miring trapesium adalah:

$= \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

$= \sqrt{144 + 25}$

$= \sqrt{169}$

$= 13 \; m$

Keliling trapesium:

$= 10 + 13 + 20 + 13$

$= 56 \; m$

Jawaban: B

teorema Pythagoras

Rumus matematika yang sangat familiar dikalangan pelajar yaitu rumus pythagoras, bagi sobat semua juga pastinya sudah tidak asing lagi. Pengertian dari rumus pythagoras yaitu rumus yang digunakan untuk mencari panjang sisi pada sebuah segitiga siku-siku. Apa itu segitiga siku? yaitu segitiga yang salah satu sudutnya memiliki besar 90°.

Untuk membuktikan rumus pythagoras / teorema pythagoras diatas, sebenarnya terdapat banyak cara. Pada kesempatan kali ini akan kita gunakan cara sederhana untuk membuktikannya. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku, cobalah disusun sehingga membentuk sebuah persegi seperti gambar dibawah ini.

adversitemens

Luas Persegi Besar = Luas Persegi

Luas Persegi Besar = luas persegi putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)²= c²+ 1/2ab+1/2 ab+1/2 ab +1/2 ab

(a+b)² = 2 ab
a²+ 2ab + b²= c²+ 2ab

a²+b²= c²

Pembuktian teorema pythagoras yang lain dapat sobat lakukan langsung dirumah, jika rumah sobat menggunakan lantai ubin atau keramik. Cobalah buat segitiga dengan alas 4 keramik dan tinggi 3 keramik, seperti gambar dibawah ini.

Jika sudah, silahkan sobat hitung panjang sisi miring yaitu garis yang diberi tanda warna merah. Jika sobat semua benar dalam menghitungnya akan diperoleh hasil panjang sisi miring yaitu 5 kali panjang ubin/ keramik.
Dalam kehidupan nyata rumus pythagoras banyak pemanfaatannya, salah satu contohnya yaitu pada bidang arsitektur. Seorang arsitek akan menggunakan rumus pythagoras dalam menentukan kemiringan suatu bangunan misalnya saja kemiringan sebuah tanggul agar tanggul tersebut dapat menahan tekanan air. Contoh lainnya yaitu seorang tukang kayu, ketika dia membuat segitiga penguat pilar dia menggunakan rumus pythagoras.
Perhatikan contoh soal dibawah ini :
1. Jika diketahui BC = 8cm, AC = 6cm. Berapakah panjang sisi AB pada gambar di bawah ini ?

Jawab:
AB² = AC² + BC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100AB
= √100
= 10
Jadi panjang sisi AB adalah 10cm.
2. Berapakah panjang sisi a pada gambar di bawah ini ?

Jawab:
Karena yang ditanyakan adalah panjang sisi a , maka berlaku rumus:
a² = c² – b²
= 17² – 8²
= 289 – 64 = 225
a = √225 = 15 cm

lingkaran

Home » Rumus Lingkaran » Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran

Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran

advertisements

Rumus Lingkaran – Lingkaran merupakan suatu bentuk bundar seperti Bola yg biasa kita mainkan untuk permainan Sepak Bola, Bola Basket maupun Bola Volli. Tapi tahukah anda bahwa dibalik bentuk Lingkaran yg bundar tersebut mempunyai Rumus Lingkaran yg sangat berguna bagi kehidupan Manusia karena bentuk Bumi yg sebagai penopang kehidupan kita jg berbentuk Bulat atau Lingkar sehingga dg adanya Rumus Matematika Lingkaran ini dapat menghitung luas lingkaran dan keliling lingkaran Bumi.

Namun pengertian Rumus Lingkaran dlm Geometri Euklid adlh suatu Rumus Bangun Datar Lingkaran yg memiliki bentuk dari himpunan semua titik pd bidangnya dlm hal ini titik tersebut bisa kita namakan sebagai Jari – Jari dan dari suatu titik tertentu itu jg terdapat Pusat Lingkaran atau Kurva tertutup sederhana yg dpt membagi bidang menjadi bagian dlm dan bagian luar. Kemudian untuk Elemen2 yg ada didlm Lingkaran yg dpt kami jelaskan antara lain Jari – Jari (R), Tali Busur (TB), Busur (B), Keliling Lingkaran (K), Diameter (D), Apotema dan Juring (J).

Elemen – eleman tersebut saling berhubungan satu sama lain sehingga dapat menghasilkan Rumus Menghitung Luas Lingkaran, Rumus Menghitung Keliling Lingkaran dan Rumus Menghitung Diameter Lingkaran yg dapat kita pelajari dan pahami seperti dibawah ini karena kami sudah menulis atau membuatkan pemahaman tentang Cara Menghitung Rumus Lingkaran yg lebih detail kpd anda karena dilengkapi dg Contoh Soal Matematika tentang Lingkaran.

Cara Menghitung Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran

penjelasan rumus lingkaran terlengkap dari kami

Bisa anda lihat Gambar Lingkaran diatas bahwa Rumus Lingkaran tidak bisa dipisahkan dg Jari – Jari, Titik Pusat dan Diameter Lingkaran. Oleh karena itu sebelum anda menjawab pertanyaan Soal – Soal Lingkaran yg ada di tingkatan SMP maupun SMA, anda diharuskan melihat berapa jumlah Jari – Jari, Titik Pusat atau Diameter Lingkaran itu terlebih dahulu karena hal itu akan memudahkan anda dlm menjawabnya..

advertisements

Rumus Luas Lingkaran

Cara Menghitung Rumus Luas Lingkaran bisa anda cari dg rumus L = π.r.r dan penjelasan dari r ialah Jari – Jari Lingkaran yg biasanya ada disetiap Soal – Soal yang membahas tentang Lingkaran serta Rumus π sudah pasti menggunakan angka 3,14 atau bisa anda lihat Rumus Mencari Luas Lingkaran secara jelas seperti dibawah ini.

penjelasan rumus menghitung luas lingkaran

Rumus Keliling Lingkaran

Sedangkan untuk Cara Menghitung Luas Lingkaran hampir sama dg Rumus Luas Lingkaran hanya saja K = 2.π.r dan perbedaannya terdapat pada jumlah kali r yg dua. Ingat bahwa Rumus Keliling dan Luas Lingkaran hampir sama sehingga anda harus benar – benar dipahami dan dihafalkan secara betul.

penjelasan rumus menghitung keliling lingkaran

Rumus Diameter Lingkaran

Sedangkan untuk Cara Menghitung Rumus Diameter Lingkaran malah terlihat lebih sederhana karena d = 2 x r dan penjelasan lebih lengkapnya bisa anda lihat dibawah ini.

penjelasan rumus menghitung diameter lingkaran

Baiklah setelah anda mengetahui dan memahami Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran maka alangkah baiknya jika anda langsung melihat contoh Soal – Soal Matematika Lingkaran yg bisa anda lihat beserta jawabanya langsung agar anda bisa lebih paham dan maksud akan Rumus Lingkaran ini.

Contoh Soal Matematika Lingkaran

1. Diket Roda berbentuk Lingkaran mempunyai Diameter sebesar 30 cm maka tentukan jumlah Luas Lingkaran dan Keliling Lingkaran yg ada.

Jawaban Mencari Luas Lingkaran

Luas = π.r.r

Luas = 3,14 x 15 x 15 — > ( jari-jari 15 diperoleh dari d = 30/2 = 15)

Luas = 3,14 x 225 = 707 cm²

Jawaban Mencari Keliling Lingkaran

Keliling = 2.π.r

K = 2. 22/7.15

K = 30 x 22/7

K= 660 / 7 = 95 cm

bangun ruang sisi datar

Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar

Ada banyak sekali bangun ruang sisi datar mulai yang paling sederhana seperti kubus, balok, limas sampai yang sangat kompleks seperti limas segi banyak atau bangu yang menyerupai kristal. Namun demikian kali ini kita akan membahas spesifik tentang bangun ruang kubus, balok, limas, dan juga prisma.

A. KUBUS

Disebut bangun ruang kubus ketika bangun tersebut dibatasi oleh 6 buah sisi yang berbentuk persegi (bujur sangkar). Bangun ruang ini mempunyai 6 buah sisi, 12 buah rusuk, dan 8 buah titik sudut. Beberapa orang sering menyebut bangun ini sebagai bidang enam beraturan dan juga prisma segiempat dengan tinggi sama dengan sisi alas.

Bagian-bagian Kubus

TIga bagian utama dalam bangun ruang kubus adalah sisi, rusuk, dan titik sudut. Selain itu masih ada yang disebut dengan diagonal bidang dan diagonal ruang. Perhatikan gambar kubus di bawah ini.

Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD.EFGH. Selanjutnya, AB , BC , CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk-rusuk kubus.

Berikut jumlah bagian-bagian kubus

1. Titik sudut 8 buah

2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya sama)

3. Rusuk berjumlah 12 buah sama panjang

4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah

5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.

6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah

Silahkan sobat coba cari sendiri ya mana-mana bagian kubus di atas sambil dicocokan jumlahnya.

Rumus-rumus Kubus

Volume = s x s x s = s³

Luas Permukaan = 6 s x s = 6 s²

Panjang Diagonal Bidang = s√2

Panjang Diagonal Ruang = s√3

Luas Bidang Diagonal = s²√2

keterangan:

s = panjang sisi kubus

B. BALOK

Coba kalian perhatikan benda-benda di sekitar kalian, banyak sekali sebenarnya benda yang memiliki bentuk bangun ruang balok. Kardus mie instan favorit kalian bentuknya adalah balok, kulkas di dapur rumah juga berbentuk balok. Lantas kenapa benda-benda tersebut dinamakan balok?

Apa itu balok?

Balok adalah bangun ruang yang memiliki tiga pasang sisi segi empat (total 6 buah) dimana sisi-sisi yang berhadapan memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Berbeda dengan kubus yang semua sisinya berbentuk persegi yang sama besar, balok sisi yang sama besar hanya sisi yang berhadapan dan tidak semuanya berbentuk persegi, kebanyakan bentuknya persegi panjang. Buat lebih memahami silahkan sobat amati lagi kulkas di bawah ini.

Bagian-bagian Balok

Bagian-bagian dari bagung ruang sisi datar ini sama seperti bagian-baian kubus. Sebuah balok terdiri dari sisi, sudut, diagonal bidang, diagonal ruang, dan yang terakhir adalah bidang diagonal. Berikut rincian jumlahnya

1. Titik sudut 8 buah

2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya beda-beda)

3. Rusuk berjumlah 12 buah

4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah

5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.

6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah

Rumus-rumus Balok

Volume = panjang x lebar x tinggi = p x l x t

Luas Permukaan = 2 (pl + pt + lt)

Panjang Diagonal Bidang = √(p²+l²) atau √(p²+t²) atau √(l²+t²)

Panjang Diagonal Ruang = √(p²+l²+t²)

Luas Bidang Diagonal = tergantung dari bidang diagonal yang mana

Keterangan:

p = panjang

l = lebar

t = tingi

C. LIMAS

Bagun ruang sisi datar berikutnya adalah limas. Pernahkah kalian melihat piramid yang ada di mesir? Nah, piramid tersebut memiliki bentuk bangun ruang limas.

Apa itu Limas?

Limas adalah bangun ruang dengan alas berbentuk segi banyak, bisa segi tiga, segi empat, segi lima, dll dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik puncak. Ada banyak macam bangun ruang limas. Penamaannya berdasarkan bentuk alasnya.

Limas Segitiga Beraturan
Limas Segiempat Beraturan
Limas Segitiga Sembarang
Limas Segiempat Sembarang

Bagian-bagian Limas

Sebuah limas terdiri dari sisi alas, sisi tegak, rusuk, titik puncak, dan tinggi. Jumlah sisi tegak akan sama dengan jumlah sisi alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah sisi tegaknya adalah 3, jika alasnya berbentuk segilima maka jumlah sisi tegaknya adalah 5. Jumlah rusuknyapun mengikuti bentuk alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah rusuknya 6, jika alasnya segiempat maka jumlah rusuknya 8, pokoknya 2 kalinya.

Sebuah limas pasti akan memiliki puncak dan tinggi. Tinggi limas adalah jarak terpendek dari puncak limas ke sisi alas. Tinggi limas selalu teka lurus dengan titik potong sumbu simetri bidang alas.

Rumus rumus Limas

Volume Limas = 1/3 Luas Alas x Tinggi

Luas Permukaan = Jumlah Luas Alas + Jumlah Luas sisi tegak

D. PRISMA

Apa itu Prisma?

Perhatikan gambar bangun ruang sisi datar di atas. Gambar tersebut menujukkan beberapa contoh dari bangun ruang prisma.Bangun-bangun tersebut memiliki bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kngruen. Sisi linnya berupa sisi tegak berbentuk jajargenjang atau pesegi panjang yang tegak lurus ataupun titik dengan bidan alas dan bidang atasnya. Itulah kurang lebih definisi prisma.

Jika dilihat lagi dari rusuk tegaknya, prisma dapat dibedakan menjadi dua, yakni prisma tegak dan prisma miring. Prisma tegak adalah prima yang rusuk-rusuknya tegak lurus dengan bidang lasa dan bidang atas. Prisma miring adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas.

Jika dilhat dari bentuk alasnya aada yang namanya prisma segitiga, prisma segi emapat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berbentuk segi n sobat bisa memberikan nama prisma segi n.

Bagian-Bagian Prima

Sebuah bangun ruang sisi datar yang bernama prisma terdiri dari alas dan sisi atas yang sama dang kongruen, sisi tegak, titik sudut, dan tinggi. Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alas dan bidang atas. Sobat bisa amati gambar berikut:

Rumus Prisma

Volume = Luas alas x Tinggi
Luas permukaan = (2 x Luas Alas) + (Keliling alas x tinggi)

kesebangunan dan kekongruenan

Pembahasan
a) Perbandingan panjang garis AB dengan AD bersesuaian dengan perbandingan panjang garis PQ dengan PS. Sehingga

Panjang PQ = 24 cm

b) Luas persegipanjang PQRS = PQ x PS = 24 cm x 6 cm = 144 cm²
Keliling persegipanjang PQRS = 2 x (PQ + PS) = 2 x (24 cm + 6 cm) = 60 cm

Soal No. 2
Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang DB!

Pembahasan
Soal ini tentang kesebangunan segitiga. Segitiga ABC yang lebih besar sebangun dengan segitiga kecil ADE sehingga perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian akan sama. Temukan dulu panjang sisi AB, ambil perbandingan alas dan tinggi dari kedua segitiga seperti berikut ini:

Dengan demikian DB = AB − AD = 15 cm − 10 cm = 5 cm

Soal No. 3
Dari soal berikut, tentukan:

a) QR
b) QU

Pembahasan
a) Penyelesaian seperti nomor 2, ambil perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga PQR dan segitiga SUR.

b) QU = QR − UR = 20 cm − 15 cm = 5 cm

Soal No. 4
Perhatikan gambar berikut!

Tentukan panjang DE

Pembahasan
Kesebangunan dua segitiga siku-siku

Soal No. 5
Dari soal berikut tentukan panjang DE!

Pembahasan
Bedakan pengambilan sisi-sisi yang bersesuaian dari soal nomor sebelumnya.

Soal No. 6
Diketahui panjang SR adalah 8 cm.

Tentukan panjang QS!

Pembahasan
Kongruensi dua segitiga siku-siku, tentukan lebih dahulu panjang PS gunakan teorema phytagoras akan didapat angka 6 cm untuk panjang PS. Kemudian lakukan perbandingan sisi yang sesuai:

Soal No. 7
Dari soal berikut ini tentukan panjang EF!

Pembahasan
Buat satu garis yang sejajar dengan garis AD namakan CH seperti gambar berikut.

Terlihat muncul data-data baru yaitu EG = 15 cm, AH = 15 cm dan HB = 13 cm. Ambil dua segitiga sebangun GFC dan HBC bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian:

Dengan demikian panjang EF = EG + GF = 15 + 4 = 19 cm

Soal No. 8
Perhatikan gambar berikut ini.

Tentukan panjang EF, jika titik E dan titik F berturut-turut adalah titik tengah diagonal DB dan diagonal CA!

Pembahasan
Cara pertama,
Perhatikan garis DB yang dibagi menjadi segmen-segmen DE, EG dan GB.
Misalkan
panjang DB adalah 2a
maka
DE = a
EB = a

Dari kesebangunan segitiga DGC dan segitiga AGB didapatkan perbandingan panjang garis
DG : GB = 2 : 1 didapatnya dari 24 cm : 12 cm

Sehingga

Dari pembagian segmen garis DB terlihat bahwa
DG = DE + GE
Sehingga

Akhirnya bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga kongruen ABG dan EGF.

Cara kedua, namun diingat hanya untuk tipe soal seperti ini saja, jadi titik E dan F nya di tengah-tengah, jangan gunakan untuk tipe soal yang lain:

Soal No. 9
Perhatikan gambar berikut ini!

Jarak titik E ke B adalah....
A. 1,5
B. 6
C. 8
D. 10

Pembahasan
Misalkan EB dinamakan x, maka AB nantinya akan sama dengan (2 + x). Perbandingan sisi EB dengan ED pada segitiga kecil (segitiga BDE), harus sama dengan perbandingan AB dengan AC pada segitiga besar (segitiga BCA). Selanjutnya:

Jadi panjang EB adalah 6 cm.

Soal No. 10
Perhatikan gambar berikut ini!

Panjang TQ adalah...
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
(UN 2007)

Pembahasan
Dengan cara yang sama dengan nomor 9 diperoleh:

Soal No. 11
Sebuah karton berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm. Budi menempelkan sebuah foto sehingga sisa karton di sebelah kiri, kanan, atas foto adalah 2 cm.

Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah foto adalah...
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 2 cm
(Modifikasi Soal Kesebangunan - UN 2010)

Pembahasan
Perhatikan ilustrasi foto dan karton tempat menempel berikut, misalkan sisa panjang karton namakan sebagai x.

Perbandingan panjang dengan lebar foto harus sama dengan perbandingan panjang dengan lebar dari karton, karena sebangun.

Soal No. 12
Sebuah foto berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm ditempel pada sebuah karton. Sisa karton di sebelah kiri, kanan, atas foto 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah foto adalah...
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 2 cm
(Soal Kesebangunan - Soal UN Matematika 2010)

Pembahasan
Perhatikan ilustrasi foto dan karton tempat menempel berikut,

Perbandingan panjang dengan lebar foto harus sama dengan perbandingan panjang dengan lebar dari karton, karena sebangun.
Perhatikan perbedaannya dengan nomor sebelumnya dalam menempatkan x.

Soal No. 13
Perhatikan gambar!

Panjang EF adalah...
A. 20 cm
B. 21 cm
C. 23 cm
D. 26 cm
(UN SMP 2013)

Pembahasan
Tambahaan garis bantu, beri nama BG.

Panjang DG jadi 14 cm, dan GC 21 cm karena tadinya DC = 35 cm. Bandingkan sisi segitiga besar BGC dan segitiga kecil BHF yang bersesuaian hingga diperoleh panjang HF dulu.

Soal No. 14
Perhatikan gambar di samping!

Panjang TR adalah….
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
(UN Matematika SMP/MTs tahun 2014)
Pembahasan
Dicoba dulu, petunjuknya, ΔPQR sebangun dengan ΔPTS, dengan ∠T bersesuaian dengan ∠Q, dan ∠S bersesuaian dengan ∠R. Sementara ∠P sama-sama dipakai kedua segitiga. Bandingkan sisi-sisi yang diketahui dan bersesuaian, biar lebih mudah diliat bisa digambar dulu kedua segitiga secara terpisah.

bangun ruang sisi lengkung

Pengertian Bangun Ruang Sisi Lengkung

Bangun ruang sisi lengkung adalah kelompok bangun ruang yang memiliki bagian-bagian yang berbentuk lengkungan. Biasanya bangun ruang tersebut memiliki selimut ataupun permukaan bidang. Yang termasuk ke dalam bangun ruang sisi lengkung adalah tabung, kerucut, dan bola.

Tabung

Tabung merupakan sebuah bangun ruang yang dibatas oleh dua bidang berbentuk lingkaran pada bagian atas dan bawahnya. Kedua lingkaran tersebut memiliki ukuran yang sama besar serta kongruen. Keduanya saling berhadapan sejajar dan dihubungkan oleh garis lurus. unsur-unsur yang ada pada tabung diantaranya adalah:

t = tinggi tabung

r = jari-jari

Rumus-Rumus Yang Berlaku untuk Tabung:

Luas Alas = Luas Lingkaran = πr²

Luas Tutup = Luas Alas = πr²

Luas Selimut = Keliling Alas × Tinggi = 2πr × t = 2πrt

Luas Permukaan Tabung = Luas Alas + Luas Tutup + Luas Selimut

Luas Permukaan Tabung = πr² + πr² + 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2πr² + 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2πr(r + t )

Volume Tabung = Luas Alas × Tinggi

Volume Tabung = πr² x t

Volume Tabung = πr² t

Kerucut

kerucut merupakan sebuah bangun ruang yang alasnya berbentuk lingkaran dan dibatasi oleh garis-garis pelukis yang mengelilinginya membentuk sebuah titik puncak. unsur-unsur yang ada pada kerucut adalah:

t = tingi kerucut

r = jari-jari alas kerucut

s = garis pelukis

Rumus-Rumus Yang Berlaku untuk Kerucut:

Luas alas = luas lingkaran = πr²

Luas selimut = Luas Juring

Luas selimut = panjang busur x luas lingkaran

keliling lingkaran

Luas Selimut = 2πr x πs²

2πs

Luas Selimut = πrs

Luas Permukaan Kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Luas Permukaan Kerucut = πr² + πrs

Luas Permukaan Kerucut = πr (r + s)

Volume Kerucut = 1/3 x volume tabung

Volume Kerucut = 1/3 x luas alas x tinggi

Volume Kerucut = 1/3 x πr² x t

Volume Kerucut = 1/3πr²t

garis, atau diagram lingkaran

Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran Beserta Pembahasan - Dalam pelajaran matematika terdapat materi mengenai diagram. Tentunya anda sudah menjumpai contoh soal bagian diagram bukan? Diagram merupakan grafik yang digambar dengan disertai keterangan maupun penjelasan tentang prosedur, kegiatan maupun sarana yang biasanya dijalankan. Diagram tersebut dapat diibaratkan sebauah gambaran sketsa yang menggunakan simbol maupun garis untuk menjelaskan sesuatu. Diagram tersebut memiliki fungsi yaitu memberikan kemudahan dalam membuat rincian data seperti angkai dan sebagainya. Mungkin anda tidak asing lagi dengan diagram lingkaran beserta contoh soal bagian diagram lingkaran.

Jenis diagram tersebut tergolong kedalam macam macam bentuk diagram. Dalam ilmu Matematika, diagram memiliki beberapa bentuk seperti diagram garis, diagram batang, diagram batang daun, diagram kotak garis, dan diagram lingkaran. Semua diagram tersebut cara menentukan besarnya sama. Kali ini saya akan membagikan contoh soal bagian diagram lingkaran beserta pembahasannya. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak dibawah ini.

Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran Beserta Pembahasan

Sebuah data disajikan dalam bentuk diagram lingkaran maupun diagram batang. Berdasarkan data tersebut, kita akan diberikan keterangan mengenai seluruh jumlah data maupun salah satu data saja. Data yang disajikan dalam bentuk diagram lingkaran dapat diketahui melalui bentuk persen (%) ataupun bentuk derajat. Jika data dalam bagian diagram lingkaran tersebut berbentuk derajat maka lingkaran tersebut memiliki besar 360 derajat secara utuh. Namun apabila data disajikan dalam bentuk persen maka lingkaran tersebut memiliki ukuran 100% secara utuh. Dibawah ini terdapat beberapa contoh soal bagian diagram lingkaran beserta pembahasannya.

Baca juga : Rumus dan Contoh Soal Perbandingan Lengkap

1. Perhatikan diagram lingkaran dibawah ini.

Berdasarkan diagram tersebut terdapat data seluruh siswa kelas IX. Dari hasil pengamatan terdapat 40 siswa dalam kelas tersebut. Maka berapakah siswa yang gemar berolahraga lari ?
Pembahasan (Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran #1):
Banyaknya siswa yang menyukai Lari :
Lari = 100% - (Data Badminton + Data Sepak Bola + Data Basket)
= 100% - (20% + 25% + 50% )
= 100% - 95% = 5%
Maka jumlah siswa suka lari 5/100 x 40 = 2 anak

Jadi jumlah siswa yang menyukai olahraga lari sebanyak 2 anak.

2. Disajikan diagram dibawah ini !

Berdasarkan data tersebut dapat diperoleh mata pencaharian desa Sukamakmur. Apabila jumlah penduduk yang berprofesi sebagai Polisi sebanyak 300 orang. Berapakah yang berprofesi sebagai buruh?

Pembahasan (Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran #2):

Baca juga : Rumus Luas dan Volume Tabung Beserta Cara Menghitungnya

3. Perhatikan diagram lingkaran dibawah ini!

Sebuh SMK Cempaka 2 memiliki data ekstrakurikuler seperti diagram diatas. Apabila banyaknya siswa yang menyukai ektrakurikuler 200 anak. Maka jumlah anak yang ikut ektrakurikuler musik dan PKS ialah...anak.

Pembahasan (Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran #3):

4. Disajikan diagram kegemaran olahraga dibawah ini.

Siswa Sukamaju memiliki kegemaran olahraga yang berbeda beda. Apabila jumlah siswa yang menyukai olahraga 300 anak. Berapa banyak siswa yang menyukai basket?

Pembahasan (Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran #4):

Basket = 100% - 50% - 25% - 10%

= 15%

Banyak Siswa yang gemar basket = 15/100 x 300 = 45 anak

Jadi banyaknya siswa yang menyukai basket ialah 45 anak

5. Perhatikan diagram lingkaran dibawah ini.

Data diatas menunjukkan warna kesukaan siswa kelas VIII SMP Bina Jaya. Apabila jumlah anak yang menyukai warna biru sebanyak 20 anak. Maka berapakah jumlah siswa kelas VIII ?
Pembahasan (Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran #5):

pemusatan

Statistika – Ukuran Pemusatan Data : Mean , Median, Modus Rumus Dan Contoh Soal

By Mas MinPosted on May 12, 2016

Contents [hide]

Ukuran Pemusatan Data : Penjelasan, Rumus dan Contoh Soal Mean , Median, Modus

Ukuran pemusatan data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara mpenyusunan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi. Yang termasuk dalam ukuran pemusatan data adalah rataan (Mean), Median, Modus . Untuk memudahkan anda dalam memahami materi ini, dibawah ini akan kita uraikan penjelasan dibawah ini.

Ukuran Pemusatan Data

Rataan (Mean)

Mean atau rata-rata hitung adalah nilai yang diperoleh dari jumlah sekelompok data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata disimbolkan dengan x.

Rata-Rata untuk Data Tunggal

Keterangan:
ẋ = mean
n = banyaknya data
x_i= nilai data ke-i

Contoh Rataan Data tunggal

Nilai ulangan matematika 15 siswa kelas XIIPAadalah 7,8,6,4,10, 5,9,7, 3,8, 6, 5, 8, 9, dan 7. Tentukan nilai rata-ratanya.

Jawab:

Jadi, nilai rata-ratanya adlah 6,8

Rata-Rata untuk Data Bergolong (Berkelompok)

Keterangan:
x_i = nilai tengah data ke-i
f_i = frekuesni data ke -i
x_s = rataan sementara (dipilih pada interval dengan frekuensi terbesar)
d_i = simpangan ke-i (selisih nilai x_i dengan nilai x_s)

Contoh Rataan Data berkelompok

Tentukan rata-rata dari data berikut.

Nilai	Frekuensi
11 - 15	4
16 - 20	5
21 - 25	8
26 - 30	8
31 - 35	4
36 - 40	2

Jawab:

Cara I:

Nilai	Xi	F i	FiXi
11 - 15	13	4	52
16 - 20	18	5	90
21 - 25	23	8	161
26 - 30	28	8	224
31 - 35	33	4	132
36 - 40	38	2	76
Jumlah		30	735

Penyelesaian:

Cara II:

Nilai	F i	Xi	di	fidi
11 - 15	4	13	-15	-60
16 - 20	5	18	-10	-50
21 - 25	8	23	-5	-35
26 - 30	8	28	0	0
31 - 35	4	33	5	20
36 - 40	2	38	10	20
Jumlah	30			-105

Penyelesaian:

Median

Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar. Median (nilai tengah) disimbolkan dengan Me.

Median untuk Data Tunggal

1. Jika banyaknya data n ganjil maka median

2. Jika banyaknya n genap maka

Contoh Median Data Tunggal

Tentukan median dari data berikut.

8,6,4,3,7,5,8,10,8,9,8,5

Nilai	3,4,5,6,7,8,9
Frekuensi	2,5,7,8,10,5,4

Jawab:

Data diurutkan : 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 9 10
N= 12 (genap)
Jadi, mediannya adlah 7,5

n = 41 (ganjil)

Median untuk data bergolong

Keterangan:
Me = median
Tb = tepi bawah kelas median
p = panjang kelas
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Contoh Median Data Bergolong

Tentukan median dari data berikut.

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena banyaknya data adlah 36 maka median terletak diantara data ke-18 dan data ke-19 sehingga diperoleh kelas yang mengandung median adalah 4-40. Dengan demikian , Tb = 41-0,5 = 40,5; p=10 (11-20); f =7; F= 16.

Data	F	fk
11-20	5	5
21-30	3	8
31-40	8	16
41-50	7	23
51-60	4	27
61-70	9	36

Penyelesaian:

Jadi, mediannya adlah 43,36

Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambnagnkan dengan Mo.

Modus untuk data tunggal
Modus dari data tunggal adalah data yang paling sering muncul.

Contoh Modus Data Tunggal

Tentukan modus dari data : 7,6,5,8,3,7,9,4,6,4,8,4,10,7,5,7,dan 8.

Jawab:

Data diurutkan: 3,4,4,4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,10.
Nilai 7 muncul paling banyak, yaitu 4 kali.
Jadi, modusnya adalah 7.

Modus untuk data bergolong

Keterangan :
Mo : modus
Tb : tepi bawah kelas modus
p : panjang kelas
d₁ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d₂ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh Modus Data Bergolong

Tentukan modus dari data berikut

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5; p=10(11-20); d_i=9-4=5; F=16.

Penyelesaian:

Jadi, modusnya adalah 53,36

P(A)=n(A)/n(S)

contoh :

Pada peristiwa melempar dua buah dadu, merah dan hitam, masing-
masing bermata 1 sampai 6 secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah nilai peluang kejadian-kejadian :
a. muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam
b. muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4

Jawab :
Ruang sampel ada sebanyak 36 kemungkinan.
a. kejadian muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam ada sebanyak 21 kemungkinan pasangan, maka peluangnya adalah :

b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5), (2,5), (1,6) dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah :

1. Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan, untuk menghitung banyak permutasi n unsur jika disusun berdasarkan k unsur k kita dapat menggunakan rumus :

permutasi dan kombinasi, rumus permutasi matematika

dimana k≤n.
contoh :
1. Di kantor pusat sebuah perusahaan besar terdapat 3 orang staff yang dicalonkan untuk mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang dapat dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?
jawab :
Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

2.Misalkan terdapat 5 angka 3,4,5,6, dan 7. Tentukan berapa banyak bilangan lebih dari 400 yang dapat dibentuk untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit dan tidak berulang?
Jawab :

karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama dapat diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7
karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi diisi 4 angka dan 3 angka
jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

Permutasi Unsur-Unsur yang Sama
Jumlah suatu permutasi jika terdapat unsur-unsur yang sama dapat dihitung menggunakan rumus :

contoh :
Tentukan berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA tanpa perulangan?
Jawab :
kata MATEMATIKA terdapat 10 unsur dimana unsur yang sama terdapat pada M=2 T=2 A=3, sehingga kata yang dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA tanpa adanya pengualangan yaitu terdapat 10!/2! 2! 3!=151.200 cara.

Permutasi Siklis
Permutasi Siklis merupakan permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Rumus yang biasa digunakan untuk menghitung permutasi siklis yaitu (n-1)!
contoh :
1. Terdapat 5 orang calon presiden di tahun 2014 sedang berdiskusi, mereka duduk disebuah meja berbentuk lingkaran. Tentukan terdapat berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?
Jawab :
Cara untuk menyusun kursi para calon presiden yaitu (5-1)!=4!=4x3x2x1=24 cara
2. Jika terdapat 5 buah kelereng yang disusun melingkar, berapa banyak cara susunan melingkar dari kelereng tersebut tanpa adanya pengulangan?
Jawab :
Cara untuk menyusun kelereng secara melingkar yaitu (5-1)!/2=24/2=12 (permutasi objek-objek yang sejenis).

2. Kombinasi
Kombinasi sama halnya dengan permutasi, yang menjadikan mereka berbeda yaitu pada permutasi memperhatikan urutan sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. Misalnya saja terdapat 5 buah baju dengan warna yang berbeda yaitu merah, kuning, hijau, biru, hitam ketika kita diminta memilih 3 dari 5 baju yang tersedia tersebut. Ketika kita memilih baju warna hitam, merah dan kuning akan sama halnya jika kita memilih biru, merah dan kuning. Disinilah perbedaan kombinasi dan permutasi, untuk menentukan kombinasi kita dapat menggunakan rumus :

contoh :
1. Seorang koki telah menyiapkan 20 jenis masakan untuk menjamu pemilik restaurant tempat dia bekerja yang akan berkunjung. Dari 20 menu dia akan memilih 11 menu yang akan disajikan, tentukan terdapat berapa banyak cara pemilihan menu yang akan digunakan untuk menjamu pemilih restaurant? (tidak memperhatikan urutan)
Jawab :

2. Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
jawab:
Ketika 60 orang tersebut saling berjabat tangan maka satu orang akan berjabat tangan dengan 59 orang. Akan tetapi jika A berjabat tangan dengan B akan sama halnya jika B berjabat tangan dengan A maka harus dibagi 2 sehingga jumlah jabat tangannya yaitu 59×60/2=1770 jabat tangan.

Rangkuman Materi USBN mtk Smp 2018

operasi bilangan bulat

operasi bilangan pecahan

perbandingan

operasi bilangan berpangkat

persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel

himpunan

Contoh Soal 1:

Pembahasan:

Contoh Soal 2:

Pembahasan:

Contoh Soal 3:

Pembahasan:

Contoh Soal 4:

Contoh Soal 5:

Pembahasan:

Pengertian Relasi

Fungsi

Pengertian Fungsi Matematika

Contoh Soal

persamaan garis lurus

Rumus Persamaan Garis Lurus

sistem persamaan linier dua variabel

garis dan sudut

Pengertian Garis

Kedudukan dua buah Garis

Pengertian Sudut

Bagian-bagian pada suatu sudut

Jenis-jenis Sudut

Hubungan antar Sudut

Hubungan Antar Sudut apabila Dua Garis Sejajar Dipotong oleh Garis Lain

Satuan Sudut

segiempat dan segitiga

teorema Pythagoras

lingkaran

Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran

Cara Menghitung Rumus Luas, Keliling dan Diameter Lingkaran

Rumus Luas Lingkaran

Contoh Soal Matematika Lingkaran

bangun ruang sisi datar

Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar

A. KUBUS

Bagian-bagian Kubus

Rumus-rumus Kubus

B. BALOK

Apa itu balok?

Bagian-bagian Balok

Rumus-rumus Balok

C. LIMAS

Apa itu Limas?

Bagian-bagian Limas

Rumus rumus Limas

D. PRISMA

Apa itu Prisma?

Bagian-Bagian Prima

Rumus Prisma

kesebangunan dan kekongruenan

bangun ruang sisi lengkung

garis, atau diagram lingkaran

Contoh Soal Bagian Diagram Lingkaran Beserta Pembahasan

pemusatan

Ukuran Pemusatan Data : Penjelasan, Rumus dan Contoh Soal Mean , Median, Modus

Ukuran Pemusatan Data

Rataan (Mean)

Median

Modus

Rangkuman Materi USBN mtk Smp 2018